Маяк Александрийский
опубликовано 

Зачет. Геометрия

Аксиомы стереометрии и основные теоремы

Аксиомы

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат общие точки.

Следствия из аксиом

  1. Через прямую и точку, не лежащую на данной прямой проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые называются параллельными, если они лежат водной в плоскости и не пересекаются.

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Скрещивающиеся прямые в пространстве

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на данной прямой, то такие прямые скрещивающиеся.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если у них нет общих точек.

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90\degree\).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Угол между прямой плоскостью

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей — наклонная.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикулярна, опущенного из этой точки на эту плоскость.

Прямая называется проекцией прямой, если эта прямая проходит через основание наклонной и проекцию любой точки наклонной.

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Призма. Прямая, правильная призма. Площадь боковой и полной поверхности

Пирамида. Правильная пирамида. Апофема. Площадь боковой и полной поверхности

Направленный отрезок. Коллинеарность. Сонаправленность. Вектор. Правило сложения векторов

Направленный отрезок — это отрезок, у которого одна точка является началом, а другая — концом.

Два направленных отрезка называются коллиниарными, если они лежат на прямых или на одной прямой.

Два коллиниарных направленных отрезка называются сонаправленными, если они лежат по одну сторону относительно прямой, соединяющей их начала.

Два коллиниарных направленных отрезка называются противоположно направленными, если они лежат по разные стороны относительно прямой, соединяющей их начала.

Модулем направленного отрезка \(\overrightarrow{FE} \ (|\overrightarrow{FE}|)\) называется длина отрезка \(FE\).

Вектор — множество направленных равных отрезков.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с концом.

Вектор, имеющий противоположное направление, называется противоположным.

Два вектора называются сонаправленными, если они коллиниарны и находятся по одну сторону относительно прямой, соединяющей их начала (их реализации сонаправлены). \(\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

Векторы называются противоположно направленными, если их реализации противоположно направлены. \(\overrightarrow{a} \downarrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

Замечание. Отметим, что в любой точке пространства можно построить единственную реализацию данного вектора.

Суммой векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) называется такой вектор \(\overrightarrow{c}\), который будет равен \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), построенный следующим образом:

  1. Строим вектор \(\overrightarrow{a}\)
  2. От конца \(\overrightarrow{a}\) откладываем вектор \(\overrightarrow{b}\)
  3. Соединяем начало вектора \(\overrightarrow{a}\) и конец вектора \(\overrightarrow{b}\)
  4. Полученный вектор есть вектор \(\overrightarrow{c}\)

Умножение вектора на число

\(\overrightarrow{b}=k*\overrightarrow{a}\), где \(k \neq 0, k \in \R\), если:

  1. \(k>0 \implies \overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

    \(k<0 \implies \overrightarrow{a} \uparrow\downarrow\overrightarrow{b}\)

  2. \(|\overrightarrow{b}| = |k| + |\overrightarrow{a}|\), где \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) — коллинирные.

Свойства:

  1. \(k(n\overrightarrow{a})=(kn)\overrightarrow{a}\)
  2. \((k + n)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{a}\)
  3. \((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot m= \overrightarrow{a} \cdot m + \overrightarrow{b} \cdot m\)

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми в пространстве

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\phi)\)

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_{a}x_b+y_{a}y_b+z_{a}z_b\)