Маяк Александрийский
опубликовано 14 мая 2022

Зачет. Алгебра

Схема Горнера

$x^4+x^3-7x^2-x+6=0$

$x_к=\dfrac p q$, где $p$ — целые делители свободного члена, $q$ — целые делители старшего коэффициента.

$x_к=\pm6;\pm3;\pm2;\pm1$

$P(1)=1+1-7-1+6=0$

В левой нижней ячейке пишем корень. В верхнем ряду пишем коэффициенты. Старший коэффициент сносим вниз. Умножаем корень на число в нижнем ряду, складываем со следующим коэффициентом, сносим результат в нижний ряд и т. д.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ \end{array} $$

$(x-1)(x^3+2x^2-5x-6)=x^4+x^3-7x^2-x+6$

Метод интервалов

Приведем неравенство к виду $f(x) \vee 0$
Находим нули левой части и наносим их на ось
Отмечаем промежутки знаком постоянства
Выбираем нужные промежутки

Логарифм

Логарифмом от числа $b$ по основанию $a$ ($a > 0, a \neq 1, b > 0$) называется такое число $c$, что $a^c = b$. Обозначение:$$\log_{a}b = c \leftrightarrow a^c = b.$$

Основное логарифмическое тождество: $$a^{\log_{a}b} = b,$$ где $ a > 0; a \neq 1; b > 0$.

Свойства логарифмов:

$$ \begin{align} &\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c)\\ &\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}(\dfrac b c)\\ &\log_{a}b^\mu=\mu \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a^ \kappa}b=\dfrac 1 k \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a}b=\dfrac {\log_{n}b} {\log_{n}a}.\\ \end{align} $$

Функция

Правило (зависимость), по которому одному значению $x$ (аргументу) ставится в соответствие единственное значение $y$ (значение функции), называется функцией.

График функции $y=f(x)$ — это множество точек координатной плоскости, координаты которой удовлетворяют равенству $y=f(x)$.

Функция $y=f(x)$ называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция $y=f(x)$ называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция $y=f(x)$ называется четной, если:

Область определения $D(y)$ симметрична относительно нуля
$y(-x)=y(x)$.

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если:

Область определения $D(y)$ симметрична относительно нуля
$y(-x)=-y(x)$.

Периодом величины $f(x)$ называется положительное число $T$: $f(x)=f(x+T)=f(x-T)$

Чтобы построить график обратной функции, нужно график функции $y=f(x)$ отобразить симметрично относительно прямой $y=x$. Полученный график функции $y=f’(x)$ является графиком обратной функции.

Показательная функция, свойства графиков

Функция вида $y=a^x$, где $a>0, a \neq 1$, называется показательной.

Логарифмическая функция, свойства графиков

Функция вида $y=\log_a(x)$, где $a>0, a \neq 1$, называется логарифмической. $D(y)=(0;+\infty)$

Функции $y=a^x$ и $y=\log_a(x)$, где $a>0, a \neq 1$, называются взаимно обратными. То есть если взять функцию $y=a^x$, $x \iff y$, то $x=a^y \Rightarrow y=\log_a(x)$.

Отметим, что если основание логарифмической функции $a>1$, то функция возрастает. Если основание логарифмической функции принадлежит интервалу $(0;1)$, то функция убывает.

Показательное уравнение

Уравнение вида $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0, a \neq 1$, называется показательным.

$f(x)=g(x)$

Показательные неравенства

Неравенство вида $a^{f(x)} \vee a^{g(x)}$, где $a > 0, a \neq 1$ называется показательным.

Если a > 1, $f(x) \vee g(x)$

Если 0 < a < 1, $f(x) \wedge g(x)$

Логарифмические уравнения

Уравнение вида $\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x)$ называется логарифмическим.

Алгоритм решения:

ОДЗ $$\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \ \end{cases}$$
Решить $$f(x)=g(x).$$

Логарифмические неравенства

$\log_a(f(x)) \vee \log_a(g(x)), a>0, a \neq 1$

$a>1 \quad \quad$ $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \vee g(x)\ \end{cases}$

$0<a<1$ $\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \wedge g(x)\ \end{cases}$

Тригонометрический круг. градусная, радианная мера, направленный угол, определение sin, cos, tg, ctg

Единичная окружность — это окружность с центром в точке $(0;0)$ и радиусом $1$.

Направленным углом называют угол между положительным направлением оси $Ox$ и радиус-вектором, определяющим положение точки на заданной окружности.

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, называют синусом угла $\alpha$ и обозначают $\sin(\alpha)$.

Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу $\alpha$, называют косинусом угла $\alpha$ и обозначают $\cos(\alpha)$.

Число, равное отношению $\sin(\alpha)$ к $\cos(\alpha)$, называют тангенсом угла $\alpha$ и обозначают $\tg(\alpha)$, т. е. $$\tg(\alpha)=\dfrac {\sin(\alpha)} {\cos(\alpha)}.$$ Число, равное отношению $\cos(\alpha)$ к $\sin(\alpha)$, называют котангенсом угла $\alpha$ и обозначают $\ctg(\alpha)$, т. е. $$\ctg(\alpha)=\dfrac {\cos(\alpha)} {\sin(\alpha)}.$$

Для любого угла $\alpha$ справедливы равенства

$$ \begin{align*} &\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\\ &\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)\\ &\tg(-\alpha)=-\tg(\alpha)\\ &\ctg(-\alpha)=-\ctg(\alpha).\\ \end{align*} $$

Основное тригонометрические тождество. Формулы суммы тригонометрических выражений

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Сумма и разность синусов и косинусов: $$ \begin{align*} &\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ \end{align*} $$

Формулы двойных углов

$$ \begin{align*} &\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\ &\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\ &\tg(2\alpha)=\dfrac {2\tg(\alpha)} {1-\tg^2(\alpha)}\\ &\ctg(2\alpha)=\dfrac {\ctg^2(\alpha)-1} {2\ctg(\alpha)}\\ \end{align*} $$

Формулы приведения

Правило:

Если рассуждаем относительно оси $Ox$, то «ослик говорит: „нет!“»

Если рассуждаем относительно оси $Oy$, то «ослик говорит: „да!“»
Знак ставится относительно первоначальной функции.

Простейшие тригонометрические уравнения

Синус: $$ \begin{align*} &\sin(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=\pi-\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\sin(x)=1, x=\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=-1, x=-\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=0, \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Косинус: $$ \begin{align*} &\cos(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=-\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\cos(x)=1, x=2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=-1, x=\pi+2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=0, \dfrac \pi 2 + \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Тангенс: $$ \begin{align*} &\tg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arctg(a)+\pi n, n \in \Z \end{align*} $$

Котангенс: $$ \begin{align*} &\ctg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arcctg(a)+\pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$

← →