Зачет. Алгебра

Схема Горнера

\(x^4+x^3-7x^2-x+6=0\)

\(x_к=\dfrac p q\), где \(p\) — целые делители свободного члена, \(q\) — целые делители старшего коэффициента.

\(x_к=\pm6;\pm3;\pm2;\pm1\)

\(P(1)=1+1-7-1+6=0\)

В левой нижней ячейке пишем корень. В верхнем ряду пишем коэффициенты. Старший коэффициент сносим вниз. Умножаем корень на число в нижнем ряду, складываем со следующим коэффициентом, сносим результат в нижний ряд и т. д.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ \end{array} $$

\((x-1)(x^3+2x^2-5x-6)=x^4+x^3-7x^2-x+6\)

Метод интервалов

  1. Приведем неравенство к виду \(f(x) \vee 0\)
  2. Находим нули левой части и наносим их на ось
  3. Отмечаем промежутки знаком постоянства
  4. Выбираем нужные промежутки

Логарифм

Логарифмом от числа \(b\) по основанию \(a\) (\(a > 0, a \neq 1, b > 0\)) называется такое число \(c\), что \(a^c = b\). Обозначение:$$\log_{a}b = c \leftrightarrow a^c = b.$$

Основное логарифмическое тождество: $$a^{\log_{a}b} = b,$$ где \( a > 0; a \neq 1; b > 0\).

Свойства логарифмов:

$$ \begin{align} &\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c)\\ &\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}(\dfrac b c)\\ &\log_{a}b^\mu=\mu \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a^ \kappa}b=\dfrac 1 k \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a}b=\dfrac {\log_{n}b} {\log_{n}a}.\\ \end{align} $$

Функция

Правило (зависимость), по которому одному значению \(x\) (аргументу) ставится соответствие единственное значение \(y\) (значение функции), называется функцией.

График функции \(y=f(x)\) — это множество точек координатной плоскости, координаты которой удовлетворяют равенству \(y=f(x)\).

Функция \(y=f(x)\) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция \(y=f(x)\) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция \(y=f(x)\) называется четной, если:

  1. Область определения \(D(y)\) симметрична относительно нуля
  2. \(y(-x)=y(x)\).

Функция \(y=f(x)\) называется нечетной, если:

  1. Область определения \(D(y)\) симметрична относительно нуля
  2. \(y(-x)=-y(x)\).

Периодом величины \(f(x)\) называется положительное число \(T\): \(f(x)=f(x+T)=f(x-T)\)

Чтобы построить график обратной функции, нужно график функции \(y=f(x)\) отобразить симметрично относительно прямой \(y=x\). Полученный график функции \(y=f’(x)\) является графиком обратной функции.

Показательная функция, свойства графиков

Функция вида \(y=a^x\), где \(a>0, a \neq 1\), называется показательной.

Логарифмическая функция, свойства графиков

Функция вида \(y=\log_a(x)\), где \(a>0, a \neq 1\), называется логарифмической. \(D(y)=(0;+\infty)\)

Функции \(y=a^x\) и \(y=\log_a(x)\), где \(a>0, a \neq 1\), называются взаимно обратными. То есть если взять функцию \(y=a^x\), \(x \iff y\), то \(x=a^y \Rightarrow y=\log_a(x)\).

Отметим, что если основание логарифмической функции \(a>1\), то функция возрастает. Если основание логарифмической функции принадлежит интервалу \((0;1)\), то функция убывает.

Показательное уравнение

Уравнение вида \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\), где \(a > 0, a \neq 1\), называется показательным.

\(f(x)=g(x)\)

Показательные неравенства

Неравенство вида \(a^{f(x)} \vee a^{g(x)}\), где \(a > 0, a \neq 1\) называется показательным.

Если a > 1, \(f(x) \vee g(x)\)

Если 0 < a < 1, \(f(x) \wedge g(x)\)

Логарифмические уравнения

Уравнение вида \(\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x)\) называется логарифмическим.

Алгоритм решения:

  1. ОДЗ $$\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \ \end{cases}$$
  2. Решить $$f(x)=g(x).$$

Логарифмические неравенства

\(\log_a(f(x)) \vee \log_a(g(x)), a>0, a \neq 1\)

\(a>1 \quad \quad\) \(\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \vee g(x)\ \end{cases}\)

\(0<a<1\) \(\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \wedge g(x)\ \end{cases}\)

Тригонометрический круг. градусная, радианная мера, направленный угол, определение sin, cos, tg, ctg

Единичная окружность — это окружность с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(1\).

Направленным углом называют угол между положительным направлением оси \(Ox\) и радиус-вектором, определяющим положение точки на заданной окружности.

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу \(\alpha\), называют синусом угла \(\alpha\) и обозначают \(\sin(\alpha)\).

Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу \(\alpha\), называют косинусом угла \(\alpha\) и обозначают \(\cos(\alpha)\).

Число, равное отношению \(\sin(\alpha)\) к \(\cos(\alpha)\), называют тангенсом угла \(\alpha\) и обозначают \(\tg(\alpha)\), т. е. $$\tg(\alpha)=\dfrac {\sin(\alpha)} {\cos(\alpha)}.$$ Число, равное отношению \(\cos(\alpha)\) к \(\sin(\alpha)\), называют котангенсом угла \(\alpha\) и обозначают \(\ctg(\alpha)\), т. е. $$\ctg(\alpha)=\dfrac {\cos(\alpha)} {\sin(\alpha)}.$$

Для любого угла \(\alpha\) справедливы равенства

$$ \begin{align*} &\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\\ &\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)\\ &\tg(-\alpha)=-\tg(\alpha)\\ &\ctg(-\alpha)=-\ctg(\alpha).\\ \end{align*} $$

Основное тригонометрические тождество. Формулы суммы тригонометрических выражений

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Сумма и разность синусов и косинусов: $$ \begin{align*} &\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ \end{align*} $$

Формулы двойных углов

$$ \begin{align*} &\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\ &\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\ &\tg(2\alpha)=\dfrac {2\tg(\alpha)} {1-\tg^2(\alpha)}\\ &\ctg(2\alpha)=\dfrac {\ctg^2(\alpha)-1} {2\ctg(\alpha)}\\ \end{align*} $$

Формулы приведения

Правило:

  1. Если рассуждаем относительно оси \(Ox\), то «ослик говорит: „нет!“»

    Если рассуждаем относительно оси \(Oy\), то «ослик говорит: „да!“»

  2. Знак ставится относительно первоначальной функции.

Простейшие тригонометрические уравнения

Синус: $$ \begin{align*} &\sin(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=\pi-\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\sin(x)=1, x=\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=-1, x=-\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=0, \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Косинус: $$ \begin{align*} &\cos(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=-\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\cos(x)=1, x=2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=-1, x=\pi+2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=0, \dfrac \pi 2 + \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Тангенс: $$ \begin{align*} &\tg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arctg(a)+\pi n, n \in \Z \end{align*} $$

Котангенс: $$ \begin{align*} &\ctg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arcctg(a)+\pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$

Комментарии 💬