| Маяк Александрийский

Зачет. Геометрия

Аксиомы стереометрии и основные теоремы

Аксиомы

  1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в плоскости.
  3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат общие точки.

Следствия из аксиом

  1. Через прямую и точку, не лежащую на данной прямой проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Параллельные прямые в пространстве

Две прямые называются параллельными, если они лежат водной в плоскости и не пересекаются.

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Скрещивающиеся прямые в пространстве

Две прямые, не лежащие в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на данной прямой, то такие прямые скрещивающиеся.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Параллельность двух плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если у них нет общих точек.

Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.

Перпендикулярность плоскостей

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен \(90\degree\).

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Угол между прямой плоскостью

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей — наклонная.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикулярна, опущенного из этой точки на эту плоскость.

Прямая называется проекцией прямой, если эта прямая проходит через основание наклонной и проекцию любой точки наклонной.

Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Призма. Прямая, правильная призма. Площадь боковой и полной поверхности

Пирамида. Правильная пирамида. Апофема. Площадь боковой и полной поверхности

Направленный отрезок. Коллинеарность. Сонаправленность. Вектор. Правило сложения векторов

Направленный отрезок — это отрезок, у которого одна точка является началом, а другая — концом.

Два направленных отрезка называются коллиниарными, если они лежат на прямых или на одной прямой.

Два коллиниарных направленных отрезка называются сонаправленными, если они лежат по одну сторону относительно прямой, соединяющей их начала.

Два коллиниарных направленных отрезка называются противоположно направленными, если они лежат по разные стороны относительно прямой, соединяющей их начала.

Модулем направленного отрезка \(\overrightarrow{FE} \ (|\overrightarrow{FE}|)\) называется длина отрезка \(FE\).

Вектор — множество направленных равных отрезков.

Нулевой вектор — вектор, начало которого совпадает с концом.

Вектор, имеющий противоположное направление, называется противоположным.

Два вектора называются сонаправленными, если они коллиниарны и находятся по одну сторону относительно прямой, соединяющей их начала (их реализации сонаправлены). \(\overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

Векторы называются противоположно направленными, если их реализации противоположно направлены. \(\overrightarrow{a} \downarrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

Замечание. Отметим, что в любой точке пространства можно построить единственную реализацию данного вектора.

Суммой векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) называется такой вектор \(\overrightarrow{c}\), который будет равен \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\), построенный следующим образом:

  1. Строим вектор \(\overrightarrow{a}\)
  2. От конца \(\overrightarrow{a}\) откладываем вектор \(\overrightarrow{b}\)
  3. Соединяем начало вектора \(\overrightarrow{a}\) и конец вектора \(\overrightarrow{b}\)
  4. Полученный вектор есть вектор \(\overrightarrow{c}\)

Умножение вектора на число

\(\overrightarrow{b}=k*\overrightarrow{a}\), где \(k \neq 0, k \in \R\), если:

  1. \(k>0 \implies \overrightarrow{a} \uparrow\uparrow \overrightarrow{b}\)

    \(k<0 \implies \overrightarrow{a} \uparrow\downarrow\overrightarrow{b}\)

  2. \(|\overrightarrow{b}| = |k| + |\overrightarrow{a}|\), где \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) — коллинирные.

Свойства:

  1. \(k(n\overrightarrow{a})=(kn)\overrightarrow{a}\)
  2. \((k + n)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{a}\)
  3. \((\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) \cdot m= \overrightarrow{a} \cdot m + \overrightarrow{b} \cdot m\)

Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми в пространстве

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos(\phi)\)

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=x_{a}x_b+y_{a}y_b+z_{a}z_b\)

Комментарии 💬
| Маяк Александрийский

Зачет. Алгебра

Схема Горнера

\(x^4+x^3-7x^2-x+6=0\)

\(x_к=\dfrac p q\), где \(p\) — целые делители свободного члена, \(q\) — целые делители старшего коэффициента.

\(x_к=\pm6;\pm3;\pm2;\pm1\)

\(P(1)=1+1-7-1+6=0\)

В левой нижней ячейке пишем корень. В верхнем ряду пишем коэффициенты. Старший коэффициент сносим вниз. Умножаем корень на число в нижнем ряду, складываем со следующим коэффициентом, сносим результат в нижний ряд и т. д.

$$ \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 1 & 1 & -7 & -1 & 6 \\ \hline 1 & 1 & 2 & -5 & -6 & 0 \\ \end{array} $$

\((x-1)(x^3+2x^2-5x-6)=x^4+x^3-7x^2-x+6\)

Метод интервалов

  1. Приведем неравенство к виду \(f(x) \vee 0\)
  2. Находим нули левой части и наносим их на ось
  3. Отмечаем промежутки знаком постоянства
  4. Выбираем нужные промежутки

Логарифм

Логарифмом от числа \(b\) по основанию \(a\) (\(a > 0, a \neq 1, b > 0\)) называется такое число \(c\), что \(a^c = b\). Обозначение:$$\log_{a}b = c \leftrightarrow a^c = b.$$

Основное логарифмическое тождество: $$a^{\log_{a}b} = b,$$ где \( a > 0; a \neq 1; b > 0\).

Свойства логарифмов:

$$ \begin{align} &\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c)\\ &\log_{a}b-\log_{a}c=\log_{a}(\dfrac b c)\\ &\log_{a}b^\mu=\mu \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a^ \kappa}b=\dfrac 1 k \cdot \log_{a}b\\ &\log_{a}b=\dfrac {\log_{n}b} {\log_{n}a}.\\ \end{align} $$

Функция

Правило (зависимость), по которому одному значению \(x\) (аргументу) ставится соответствие единственное значение \(y\) (значение функции), называется функцией.

График функции \(y=f(x)\) — это множество точек координатной плоскости, координаты которой удовлетворяют равенству \(y=f(x)\).

Функция \(y=f(x)\) называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция \(y=f(x)\) называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Функция \(y=f(x)\) называется четной, если:

  1. Область определения \(D(y)\) симметрична относительно нуля
  2. \(y(-x)=y(x)\).

Функция \(y=f(x)\) называется нечетной, если:

  1. Область определения \(D(y)\) симметрична относительно нуля
  2. \(y(-x)=-y(x)\).

Периодом величины \(f(x)\) называется положительное число \(T\): \(f(x)=f(x+T)=f(x-T)\)

Чтобы построить график обратной функции, нужно график функции \(y=f(x)\) отобразить симметрично относительно прямой \(y=x\). Полученный график функции \(y=f’(x)\) является графиком обратной функции.

Показательная функция, свойства графиков

Функция вида \(y=a^x\), где \(a>0, a \neq 1\), называется показательной.

Логарифмическая функция, свойства графиков

Функция вида \(y=\log_a(x)\), где \(a>0, a \neq 1\), называется логарифмической. \(D(y)=(0;+\infty)\)

Функции \(y=a^x\) и \(y=\log_a(x)\), где \(a>0, a \neq 1\), называются взаимно обратными. То есть если взять функцию \(y=a^x\), \(x \iff y\), то \(x=a^y \Rightarrow y=\log_a(x)\).

Отметим, что если основание логарифмической функции \(a>1\), то функция возрастает. Если основание логарифмической функции принадлежит интервалу \((0;1)\), то функция убывает.

Показательное уравнение

Уравнение вида \(a^{f(x)} = a^{g(x)}\), где \(a > 0, a \neq 1\), называется показательным.

\(f(x)=g(x)\)

Показательные неравенства

Неравенство вида \(a^{f(x)} \vee a^{g(x)}\), где \(a > 0, a \neq 1\) называется показательным.

Если a > 1, \(f(x) \vee g(x)\)

Если 0 < a < 1, \(f(x) \wedge g(x)\)

Логарифмические уравнения

Уравнение вида \(\log_{a}f(x) = \log_{a}g(x)\) называется логарифмическим.

Алгоритм решения:

  1. ОДЗ $$\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \ \end{cases}$$
  2. Решить $$f(x)=g(x).$$

Логарифмические неравенства

\(\log_a(f(x)) \vee \log_a(g(x)), a>0, a \neq 1\)

\(a>1 \quad \quad\) \(\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \vee g(x)\ \end{cases}\)

\(0<a<1\) \(\begin{cases} f(x)>0 \\ g(x)>0 \\ f(x) \wedge g(x)\ \end{cases}\)

Тригонометрический круг. градусная, радианная мера, направленный угол, определение sin, cos, tg, ctg

Единичная окружность — это окружность с центром в точке \((0;0)\) и радиусом \(1\).

Направленным углом называют угол между положительным направлением оси \(Ox\) и радиус-вектором, определяющим положение точки на заданной окружности.

Число, равное ординате точки единичной окружности, соответствующей углу \(\alpha\), называют синусом угла \(\alpha\) и обозначают \(\sin(\alpha)\).

Число, равное абсциссе точки единичной окружности, соответствующей углу \(\alpha\), называют косинусом угла \(\alpha\) и обозначают \(\cos(\alpha)\).

Число, равное отношению \(\sin(\alpha)\) к \(\cos(\alpha)\), называют тангенсом угла \(\alpha\) и обозначают \(\tg(\alpha)\), т. е. $$\tg(\alpha)=\dfrac {\sin(\alpha)} {\cos(\alpha)}.$$ Число, равное отношению \(\cos(\alpha)\) к \(\sin(\alpha)\), называют котангенсом угла \(\alpha\) и обозначают \(\ctg(\alpha)\), т. е. $$\ctg(\alpha)=\dfrac {\cos(\alpha)} {\sin(\alpha)}.$$

Для любого угла \(\alpha\) справедливы равенства

$$ \begin{align*} &\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)\\ &\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)\\ &\tg(-\alpha)=-\tg(\alpha)\\ &\ctg(-\alpha)=-\ctg(\alpha).\\ \end{align*} $$

Основное тригонометрические тождество. Формулы суммы тригонометрических выражений

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

Сумма и разность синусов и косинусов: $$ \begin{align*} &\sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\sin(\alpha)-\sin(\beta)=2\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)+\cos(\beta)=2\cos(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\cos(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ &\cos(\alpha)-\cos(\beta)=-2\sin(\dfrac {\alpha+\beta} 2)\sin(\dfrac {\alpha-\beta} 2)\\ \end{align*} $$

Формулы двойных углов

$$ \begin{align*} &\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\\ &\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)\\ &\tg(2\alpha)=\dfrac {2\tg(\alpha)} {1-\tg^2(\alpha)}\\ &\ctg(2\alpha)=\dfrac {\ctg^2(\alpha)-1} {2\ctg(\alpha)}\\ \end{align*} $$

Формулы приведения

Правило:

  1. Если рассуждаем относительно оси \(Ox\), то «ослик говорит: „нет!“»

    Если рассуждаем относительно оси \(Oy\), то «ослик говорит: „да!“»

  2. Знак ставится относительно первоначальной функции.

Простейшие тригонометрические уравнения

Синус: $$ \begin{align*} &\sin(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=\pi-\arcsin(a)+2 \pi n, n \in \Z \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\sin(x)=1, x=\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=-1, x=-\dfrac \pi 2 + 2\pi n, n \in \Z\\ &\sin(x)=0, \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Косинус: $$ \begin{align*} &\cos(x)=a, |a| < 1, a \neq 1\\ &x_1=\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ &x_2=-\arccos(a)+2 \pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$ Частные случаи: $$ \begin{align*} &\cos(x)=1, x=2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=-1, x=\pi+2\pi n, n \in \Z\\ &\cos(x)=0, \dfrac \pi 2 + \pi n, n \in \Z. \end{align*} $$

Тангенс: $$ \begin{align*} &\tg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arctg(a)+\pi n, n \in \Z \end{align*} $$

Котангенс: $$ \begin{align*} &\ctg(x)=a, a \in \R\\ &x=\arcctg(a)+\pi n, n \in \Z\\ \end{align*} $$

Комментарии 💬
| Маяк Александрийский

Думал, долго думал

Почти всё время как читал Раскольников, с самого начала письма, лицо его было мокро от слез; но когда он кончил, оно было бледно, искривлено судорогой, и тяжелая, желчная, злая улыбка змеилась по его губам. Он прилег головой на свою тощую и затасканную подушку и думал, долго думал.

Ф. М. Достоевский. Преступление и наказание

Комментарии 💬
| Маяк Александрийский

Позвонить его жене

Позвонила взволнованная дама, стала требовать Римского, ей посоветовали позвонить к жене его, на что трубка, зарыдав, ответила, что она и есть жена и что Римского нигде нет.

М. А. Булгаков. Мастер и Маргарита

Комментарии 💬
| Маяк Александрийский

Как с деньгами?

— Малюта обиделся? — удивился Татарский. — Да у него самого над столом такие надписи... Вы видели, что он вчера наклеил?
— Нет еще.
— У него над столом написано: «Как с деньгами?»

В. О. Пелевин. Generation «П»

Комментарии 💬